摘要　首先对铣削过程中切削扭矩的波形特征进行了研究；建立了铣削过程的随机自回归模型，将自回归算法应用到刀具破损监测中，并介绍了用zui小均方算法对自回归模型进行参数估计的方法；以实验的方法研究了步长因子的特征及模型阶数的选取。
关键词：刀具破损检测　自回归算法　铣削application of the autoregressive method in
cutting tool breakage monitoring in milling process
liu xiaodong
abstract　in this paper,the characteristic of milling torque waveform is analyzed.in order to distinguish tool breakage in milling process a stochastic ar model is established,the parameters of which are estimated by lms method.with the experiment the characteristic of the step factor and the order of ar model are researched.
key words：cutting tool breakage monitoring;autoregressive algorithm;milling
随着生产自动化程度的提高，人们越来越重视加工过程中刀具破损的在线监测。破损是刀具的主要失效形式之一。刀具在机械冲击作用下或刀具材料发生疲劳（机械或热疲劳），其内部应力如果超过刀具材料的强度极*，切削刃将断裂并从刀具体上脱落下来，形成破损。在切削加工过程中，刀具发生破损必然会通过各种现象或信号（如切削力、声音等）表现出来。在众多的信号中，使用切削力（扭矩）对刀具破损进行监测是zui常用的也是zui有效的方法。本文首先研究了铣削过程中切削扭矩的波形特征；然后将自回归算法引入到刀具破损监测中，重点研究了自回归算法在刀具破损监测中的应用，介绍了用zui小均方算法对自回归模型进行参数估计的方法；并对自回归模型的步长因子μ、阶数p等进行了较详细的研究。
刀具破损时程度各不相同，有时是小块切削刃脱落，有时是大块切削刃脱落，更有甚者是整个刀具折断。一般来讲，破损量较大时切削力信号的变化较强烈，容易识别；而较小的破损则较难识别。本文只就小块切削刃的破损进行研究。
本文所使用的铣削力（扭矩）测量装置是一把带有力传感器和感应供电装置的切削力遥测刀柄［1］，测力刀柄可以测量出钻、铣削过程中刀具受到的切削扭矩。
1　铣削过程中切削扭矩的波形特征
由于采用铣削扭矩作为刀具破损监测的依据，所以需要了解铣削扭矩的变化规律，这样才能对刀具的破损进行识别。本文实验所用的铣刀选择高速钢三齿螺旋槽立铣刀，工件材料为调质45钢。
测力刀柄每隔一定的时间采集一次铣削扭矩数值，并将这些离散点相连接，形成了扭矩的波形曲线。铣刀每转内采集的点数是确定的（本文为每转采集60个数据），由安装在铣床主轴端部的编码器决定。
首先分析正常铣削过程中切削扭矩的波形特征（图1a）：扭矩信号是周期性的，其基频就是铣刀的转动频率，每个周期内的三个波峰分别表示铣刀三个齿的切削扭矩。理论上讲，每个刀齿相邻两个周期（即相邻两转）之间切削扭矩的波形（形状和幅值）应该相同，也就是说，相邻两转对应点（如图1a中a1、a2点）的幅值相等。但是，在同一周期内，各个刀齿之间的切削扭矩波形并不一定相同，这主要是由于各个刀齿的几何角度、刃口质量略有差异以及铣刀安装偏心等因素造成的。
图1　三齿立铣刀铣削扭矩波形特征
（a）正常铣削 （b）模拟破损 （c）模拟破损 （d）经过气孔
刀具破损的偶然性很大，较难捕捉并记录下来，给实验带来很大的困难，因此本文采用了模拟破损的方法。具体做法如下：先用完好的刀具铣削，记录下切削扭矩的数据；然后停车，在不拆卸刀具、工件的情况下，用手动砂轮在切削刃上磨出缺口，模拟破损；接着用带缺口的刀具继续铣削并记录切削扭矩的数据。这样做可以获得铣刀破损前后的扭矩波形，但无法再现破损瞬间扭矩的变化情况。根据本文下面的分析可以知道，利用自回归算法监测刀具破损主要需要识别破损前后铣削扭矩的变化，破损瞬间的变化规律倒不是zui重要的。
一般来讲，切削刃产生缺口后将有两种情况发生：一种情况是缺口处仍保持可以继续切削的正后角，但该处的切削厚度将减小，缺口处切削刃少切削甚至不切削工件，切削扭矩降低，这样扭矩波形就出现了凹陷，与破损齿相邻的下一齿将切掉破损齿没有切掉的部分材料，所以扭矩波形会出现一个凸起（图1b）；第二种情况是缺口处的后角变为零或负值，此时该处后刀面与工件的摩擦剧增，使切削扭矩骤然增大（图1c）。可以说，不论哪一种情况，破损前后切削扭矩的幅值和波形都将发生变化。
如同刀具破损时切削扭矩波形将发生变化一样，在某些特殊情况下（如铣刀切入、切出工件，工件表面有孔、槽、台阶，工件表面不平整等），切削扭矩的波形也将发生变化。这样就涉及到刀具监测的另外一个问题：即如何将特殊情况下的切削与刀具破损区别开来，以避免发生错误的判别。图1d是铣削有气孔（气孔直径约为5.2mm）工件的铣削扭矩波形，从图中可以看出，铣刀经过气孔时每个刀齿切削扭矩波形将出现凹陷，形成中间低洼的“驼峰”状波形。
所有特殊条件下的切削都会使相邻两转之间铣削扭矩的波形发生变化。如何将这种变化与刀具破损时扭矩的变化区别开来，通过仔细观察可以发现：刀具破损引起切削扭矩的变化是一个突变过程，即在相邻两转之间扭矩的幅值突然增大；而特殊条件下切削扭矩的变化则是一个缓变的、渐进的过程。以图1d为例，虽然整个过程中切削扭矩发生了较大的变化，但变化是缓慢过渡的，即铣刀逐渐切入气孔，并逐渐切离气孔，因此相邻两转之间扭矩的变化相当小。切削扭矩的突变性和缓变性是区分两者的重要特征，这一点为自回归算法排除误报提供了客观依据。
至此，我们可以根据切削扭矩的变化用肉眼判断刀具的状态（是否破损）。接下来就要使计算机能够根据切削扭矩的数据自动识别铣削扭矩波形的变化，从而进一步判断刀具是否破损，这就是监测算法的研究。
2　铣削过程的自回归（autoregressive）模型
2.1　自回归模型的建立
离散的动态铣削过程（如图1a～d所示）可以用两个模型合并描述：过程中确定的、有规律的成分可以用动态传递函数描述，过程中的随机成分可以用随机模型来描述，见图2。这样，任一时刻t的输出f（t）可以表示为：
　（1）式中f（t）——t时刻的铣削扭矩
u（t）——切削条件（如切削用量、工件材质等）
a（t）——干扰铣削过程的随机输入成分
b——后移算子
式（1）右边的前一项表示没有随机干扰成分时铣削力的幅值，它是由切削条件决定的，因为是周期性的、稳定的成分，所以对刀具破损的识别没有意义。可以通过将相邻两转扭矩波形对应点求一阶差分的方法将这一项滤掉（见图1a），即一阶差分
δf（t）＝f（t）－f（t－t）　（2）
展开得：
其中t表示铣刀每个转动周期内采集的铣削扭矩点数（对应于铣刀的转动周期），化简得：
　（3）这样就得出以一阶差分为输出的铣削过程模型。由于a（t）－a（t－t）是随机输入量，所以这个模型是一个随机模型，称为自回归滑动平均模型arma（p,q）（其中p、q是模型的阶数）。它由两部分组成：自回归项φp（b）（autoregressive,简称ar）和滑动平均项γq（b）（moving　average，简称ma）。其中低阶的自回归模型是一个线形滤波器，比较适合监测变化较快的动态过程，所以通常采用自回归模型进行实时监测［3］。
图2　动态铣削过程模型
p阶自回归模型可以表示为：
　（4）或者
　（5）其中δf（t），δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）分别是t,t-1,t-2,…,t-p时刻切削扭矩的一阶差分，φ1，φ2，…，φp是模型参数。
另外，t时刻的δf（t）值可以由已经求得的参数φ1，φ2，…，φp和t-1时刻以前（包括t-1时刻）的δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）值估计，即
　（6）其中“∧”表示估计值。实际上就是根据以前的数据对即将产生t时刻的数据进行的预估值，所以没有包含过程中可能出现的随机因素的影响。将实测值δf（t）与估计值相减就得到t时刻影响过程的随机成分，即
　（7）δ（t）称为残余误差（residual error），表示实验测量值和估计值之差。
2.2　自回归模型的时变参数估计
下面的问题是如何利用t-1时刻以前（包括t-1时刻）的δf值对t时刻的δf值进行估计，从而求得残余误差。关键在于如何计算模型参数φ1，φ2，…，φp，它们需要自适应确定。本文引入了zui小均方算法（lms）对ar模型进行时变参数估计，其特点是无需计算相关函数，也不必进行矩阵求逆［2］，所以运算简单，可以保证监测的实时性。
lms算法用于ar（p）模型的时变参数估计可以简单地归纳如下：
给定参数：模型阶数p，步长因子μ
初始条件：t=0时，p维向量初值
lms算法的表达式为，t＝0，1，2，…时
　（8）其中
φ（t）＝［φ1（t），φ2（t），…，φp（t）］　（9）
表示t时刻由模型参数构成的向量，
δf（t）＝［δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）］t　（10）
表示t-1时刻以前（包括t-1）的δf值组成的向量，为t时刻的估计值。
利用这组递推公式就可以对ar模型的参数进行时变估计，并求出任一时刻t的残余误差值δ（t）。
3　自回归模型在刀具破损监测中的应用
3.1　自回归算法用于刀具破损监测
从以上介绍可以看出，随机自回归模型的输入是一个随机过程，输出是残余误差。如果输入量是一个稳定的随机过程，输出的残余误差是噪声信号（即均值为零，方差为常数），它的值很小，在零点上下波动；如果这一随机输入突然偏离稳定过程，ar模型将被扰乱，它在至少p（ar模型的阶数）个间隔（也就是处理p个数据）之内不在跟踪随机过程，输出残余误差的幅值将突增。残余误差值的变化幅度比输入信号的变化幅度要大得多，也就是说，自回归算法有对输入进行放大的作用。
在正常铣削过程中（图1a），对切削扭矩进行一阶差分滤波后，得到的是一系列平稳的随机数据，这些数据经ar模型处理后得到平稳的残余误差输出，见图3a，其幅值小于图示切削扭矩单位。当刀具破损时（图1b、c），前后两转之间切削扭矩的突变使一阶差分突然变化，稳定的随机输入过程被破坏了，从而使残余误差的输出值产生突变。图3b表示图1c的数据经ar模型处理后得到的残余误差输出，其幅值范围为-14.65～19.40切削扭矩单位。当铣刀经过工件的气孔时（图1d），切削扭矩的一阶差分值也会发生变化，输出的残余误差要比正常铣削时大（见图3c），其幅值范围为图示切削扭矩单位。由于特殊条件下切削扭矩的变化是缓慢渐进的，所以相邻两转之间一阶差分值的变化并不显著，因此输出的残余误差要比刀具破损时小得多。
图3　ar模型的残余误差输出
（a）正常铣削过程　（b）铣刀破损　（c）铣刀经过气孔
以残余误差值作为识别刀具破损的依据。由于刀具破损时残余误差的值域范围比另外两种情况大得多，所以，只要制定合理的残余误差门限值，使之位于破损时残余误差zui大值和另外两种情况残余误差zui大值之间，将实时计算的每个残余误差和破损门限值进行比较，就可以判断出刀具的破损值。
本文采用的模拟破损方法只能采集到刀具破损前后的数据。从上面的介绍可以看出，自回归算法可以识别刀具破损前后铣削扭矩的变化，所以模拟破损的实验方法有其合理性的依据。事实上，刀具破损瞬间能量的突然释放势必要求切削功率（功削扭矩）突然增大，这一点可以由偶然观察到的刀具破损时的扭矩波形得以证实。所以可以推测，刀具自然破损时自回归模型的残余误差输出也将发生较大的变化。
ar算法用于刀具破损监测需要解决的问题有自回归模型步长因子和阶数的确定，下面分别加以说明。
3.2　自回归模型步长因子的确定
对于一个随机过程来讲，ar模型的参数φ是确定的（存在一个理论值），不会因输入量的随机变化而变化。铣削过程自回归模型的参数φ无法直接计算出来，所以需要设初值为零，然后通过迭代的方法自适应确定。φ从零到理论值的变化是一个收敛过程，当参数收敛到理论值附近时，ar模型达到稳定状态，参数将不再随输入量的变化而发生较大的变化，它只在很小的范围内波动。
步长因子μ就决定着φ的收敛速度。虽然使用zui小均方算法对ar模型进行参数估计的计算量很小，可以保证监测的实时性，但zui小均方算法步长因子μ的分布范围非常广。由实验得知，对于铣削扭矩的一阶差分这一随机过程来讲，μ的范围在0～700之间，这样μ就较难确定。图4表示当μ＝50，200，400时一阶ar模型参数的收敛情况。从图中可以看出，当μ值选取过小时（如μ＝50），收敛速度将非常慢，以至于一个切削过程结束了，参数还远远没有收敛到它的理论值。如果参数没有收敛到它的理论值，当刀具破损时残余误差虽然也会有变化，但这一变化比参数收敛后残余误差的变化要小得多。也就是说，没有达到稳定状态的ar模型对干扰的反应不够灵敏，这样就有可能识别不出刀具的破损。如果μ值太大（如μ＝800时），尽管ar模型参数的收敛速度很快，但模型的稳定性也较差，很容易造成数据的发散（图4中没有表示出来）。只有选择较合适的μ值（如μ＝400时），模型既保持较快的收敛速度（从图中可以看出，在采集几个数据后参数就收敛了），又不致引起模型参数的发散。由实验可以确定，μ取400左右较为合适。
图4　步长因子μ对ar（1）模型参数收敛的影响
3.3　自回归模型阶数的确定
从式（8）可以看出，模型阶数p即代表着ar模型每次处理数据的个数。确定阶数要同时考虑以下两个方面：
首先要考虑计算时间。阶数越高，每次处理数据的时间越长，选择太高的阶数会使运算量（时间）增长。由于现在计算机处理数据的速度越来越快，通过实验可以知道，在常规铣削速度范围内，即使选用30阶ar模型仍可以做到实时性，所以计算时间的限制可以从轻考虑。
ar模型阶数的确定主要是由切削过程决定的。概括地说，对于同一随机过程，阶数越高，对干扰的反应越敏感（即残余误差输出越大），这样识别破损的可能性也越大。但是，前面讲过，切削过程中不但刀具破损会使切削扭矩发生变化，而且在某些特殊切削条件下切削扭矩波形也将发生变化，残余误差也将增大。这样就产生了一个矛盾：从刀具破损识别的角度来看，要求ar模型对干扰的反应越敏感越好，以便识别刀具的破损；但若刀具进入特殊的切削状态，则要求ar模型对干扰的反应越迟钝越好，以避免发生误报。而合理选择ar模型的阶数可以协调这一矛盾。通过实验发现，在铣刀每转采集60个数据的条件下，选用15阶ar模型效果较好。　结论
4
本文研究了自回归方法在铣削过程刀具破损监测中的应用。首先对铣削过程切削扭矩的波形特征进行了研究，在此基础上建立了铣削过程的随机自回归模型，引入了zui小均方算法对自回归模型进行时变参数估计，以实验的方法研究了步长因子的规律及模型阶数的选取。
从上面的介绍可以看出，自回归模型用于刀具破损也有其局限性，它并没有从实质上将刀具破损和特殊工况下的切削区别开来，如果刀具没有破损而相邻两转之间切削扭矩变化大到一定程度时，监测系统仍然会认为刀具破损。